正多角形の計算

計算方法

内角・外角　内角（1つ） ＝（n−2）×180 ÷ n　外角（1つ） ＝ 360 ÷ n（nは辺の数）

対角線の本数　n(n−3) ÷ 2

面積　面積 ＝ n×s² ÷（4×tan(180°÷n)）（sは1辺の長さ）

例：1辺1mの正六角形（n＝6）は、内角120度、対角線9本、面積は約2.598m²です。正三角形（n＝3）なら、面積は約0.433m²です。

外接円・内接円　外接円（すべての頂点を通る円）の半径はs ÷（2×sin(180°÷n)）、内接円（すべての辺にふれる円）の半径はs ÷（2×tan(180°÷n)）で求めます。辺の数が多くなるほど、正多角形は円に近づいていきます。

式の意味を説明します。多角形は、1つの頂点からほかの頂点へ線を引くと（n−2）個の三角形に分けられます。三角形の内角の和は180度なので、内角の合計は（n−2）×180度です。正多角形はどの角も同じ大きさなので、nで割れば1つ分になります。外角は1周して元の向きに戻る回転なので、合計は必ず360度です。

例：1辺1.5mの正九角形なら、内角は1つ140度、外角は40度、対角線は27本です。面積は約13.9091m²、外接円の半径は約2.1929m、内接円の半径は約2.0606mです。

気をつけること。この計算は、すべての辺と角が等しい正多角形だけに使えます。辺の長さがそろっていない多角形では、面積の式は使えません。角度は度で表しています。面積と半径は割り切れない数になることが多く、表示は四捨五入した値です。

出典：正多角形の内角・対角線・面積の公式（初等幾何の定義式）